22/04/2010

Théorie des jeux

Von Neuman & Morgenstern (1944) et Nash (1950) étudient l’interaction des prises de décisions rationnelles : pour jouer, il faut des joueurs, des stratégies et des gains associés à chaque issue du jeu. Chaque joueur connaît sa stratégie et ses gains ainsi que les stratégies possibles et les gains des autres.

C’est une théorie particulièrement utile pour les situations économiques où il n’y a pas beaucoup d’intervenants comme les oligopoles ou la politique monétaire.

Il existe une typologie des jeux :

-         les jeux statiques : ne concernent qu’un seul coup

-         les jeux répétés : plusieurs jeux successifs

-         les jeux en information parfaite

-         les jeux en information imparfaite

Le cas le plus simple vise le jeu statique en information parfaite, qui est associé à l’équilibre de Nash. Les autres cas sont des raffinements de cet équilibre.

 

 

Information parfaite

 

 

Information imparfaite

 

Jeu statique

 

 

Equilibre de Nash

 

Equilibre bayésien

(Harsanyi)

 

Jeu répété

 

 

Equilibre de Nash parfait

(Selten)

 

Equilibre bayésien parfait

  

Les jeux statiques

1. L’équilibre de Nash

Chaque joueur choisit une séquence de jeu qui constitue une meilleure réponse aux séquences de jeu des autres joueurs. Etant donné ce que font les autres, chaque joueur choisit sa meilleure réponse.

Il faut donc savoir comment les autres se comportent. La meilleure façon de trouver l’équilibre consiste à éliminer les stratégies dominées.

Le dilemme du prisonnier : Deux joueurs, qui doivent se dénoncer ou ne pas se dénoncer.

                          Joueur 2

 

Joueur 1

 

Dénonce

 

Ne dénonce pas

 

Dénonce

 

 

(-1 ; -1)

 

(1 ; -2)

 

Ne dénonce pas

 

 

(-2 ; 1)

 

(0 ; 0)

Les seules combinaisons stratégiques qui soient compatibles entre elles, c’est la dénonciation mutuelle. C’est un équilibre de Nash sous-optimal au sens de Pareto.

Au total chaque joueur perd 1. Ils ne coopèrent pas, car chacun a intérêt à dévier.

Les matching pennies : Chaque joueur a un pièce et la lance, si les choix sont identiques A reçoit 1.

                         Joueur B

 

Joueur A

 

Pile

 

Face

 

Pile

 

 

(1 ; -1)

 

(-1 ; 1)

 

Face

 

 

(-1 ; 1)

 

(1 ; -1)

Dans ce jeu, il n’y a pas d’équilibre par élimination de stratégie dominée, en stratégie pure. Par contre, en stratégie mixte, il existe un équilibre quand les joueurs choisissent au hasard.

 

La bataille des sexes : Madame et Monsieur sont contents s’ils sont ensemble

                          Monsieur

 

Madame

 

Opéra

 

Boxe

 

Opéra

 

 

(2; 1)

 

(0 ; 0)

 

Boxe

 

 

(0; 0)

 

(1 ; 2)

Ils ne vont pas négocier, ils annoncent : si Monsieur annonce l’opéra, Madame va suivre et réciproquement si Monsieur annonce la boxe.

On obtient ainsi deux équilibres de Nash : on sait qu’ils seront ensemble mais on ne sait pas où. Pour opérer une sélection, il peut y avoir une convention, c’est à dire une donnée extérieure aux gens.

Pour Schelling (1960) on peut également se référer au point focal : les agents possèdent les données psychologiques et historiques qui leur permettent de choisir spontanément.

2. L’équilibre bayésien

Harsanyi (1967) montre qu'un joueur a une information imparfaite quand il ne sait pas ce que les autres ont fait auparavant et qu'un joueur a une information incomplète lorsqu’il ne connaît pas les caractéristiques précises de ses adversaires.

On peut transformer un jeu en information incomplète en jeu à information imparfaite, c’est la transformation (le "passage") d’Harsanyi.

Dans le dilemme du prisonnier, l’information est imparfaite quand l’un des joueurs joue avant l’autre et que le second n’a pas observé ce qu’il a fait. De même, l’information est incomplète quand le premier ne sait pas qui a été arrêté en second.

C’est la nature qui va choisir les caractéristiques des joueurs au début du jeu. Ainsi on ne sait pas l’action qu’a choisi la nature. Chaque joueur doit donc jouer en anticipant le type ou les actions de l’autre joueur.

L’équilibre bayésien correspond à la situation dans laquelle chacun va choisir la situation qui maximise son espérance de gain étant donné son type, ses croyances et les croyances et les stratégies des autres joueurs.

Références bibliographiques :

HARSANYI, John : Games with incomplete information played by bayesian players, Management Science, 1967

NASH, John : The bargaining problem, Econometrica, 1950

SCHELLING, Thomas : Stratégie du conflit, Puf, 1960

VON NEUMANN, John & MORGENSTERN, Oskar : Theory of games and economic behavior, Princeton University Press, 1944

20:17 Écrit par Guillaume ARNOULD dans Economie | Lien permanent | Commentaires (0) |  Facebook |

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